https://www.youtube.com/watch?v=Ip3X9LOh2dk&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=6
안녕, 또 만났네.
그럼, 이제는 너에게 충분히 설명했다고 생각해. 선형변환에 대한 시각적 이해가 됬을거고,
선형변환을 행렬로 표현하는 방법도 알거야.
지난 동영상들에서 통해서 계속 얘기했었지.
근데 너가 선형변환을 다루다보면,
어떤 것들은 공간을 확대시키는 것 같을거고,
또 어떤 것들은 공간을 축소시키는 것 같을거야.
이런 변환을 이해하는데 꽤 도움이 되는 방법 한가지가 있어.
바로 물체를 얼마나 확장되거나 축소되는지 특정해보는거야.
더 구체적으로 설명하자면,
특정 지역의 크기를 증가하거나 감소시키는 팩터(factor 요인)값을 측정해보는 거야.
예를 들어 볼게.
열 (3, 0), (0, 2) 로 이루어진 행렬을 봐봐.
이 행렬은 i-hat(x 축 단위벡터) 를 팩터 3으로 확장시키고,
j-hat(y축 단위벡터)를 팩터2 로 확장시키고 있어.
이번에는, 1x1 짜리 정사각형을 집중해서 봐봐.
이 정사각형 아래는 i-hat 벡터고 왼쪽은 j-hat 벡터야.
변환 후를 보면, 2x3 크기의 직사각형이 되었어.
처음엔 영역(area) 1로 시작했는데, 나중엔 영역(area)크기가 6으로 바뀌었어.
그럼 우리는 이 선형변환은 팩터 6 으로 영역(area) 를 확장시킨다고 말할 수 있어.
기울이기?(shear) 변환과 비교해보자.
기울이기(shear) 변환을 타나내는 행렬은 (1,0), (1,1) 이야.
좀 풀어서 말하자면, i-hat 은 변하지 않고 j-hat 은 (1,1) 로 이동시켜.
그러면 i-hat 과 j-hat 에 의해 결정된 단위 정사각형이
기울여지는 변형 후에는 평행사변형이 돼.
그래도 평행사변형의 영역(area) 크기는 여전히 1이야.
밑과 높이 길이가 여전히 1이기 때문이지.
그래서, 이 변환이 마치 눌러서 찌그려뜨리는 것 같아도,
영역(넓이)는 바뀌지 않아.
흠, 적어도 단위 정사각형은 그렇지.
사실은
너가 하나의 단위 정사각형의 영역이 얼마나 변하는지만 알면
공간 상 어떤 지역이 어떻게 변할지를 예측할 수 있게 돼.
우선 격자에 한 정사각형이 어떻게 바뀌는지 살펴봐봐.
격자의 다른 정사각형들에도 마찬가지 변화가 똑같이 일어난다는 것을 깨닫게 될거야.
크기는 중요하지 않아.
이건 격자선이 평행하고 균등한 거리를 유지한 채 변화하기 때문이야.
그럼 이제는, 정사각이 아닌 임의 형태를 살펴보자.
임의 형태를 격자의 정사각형으로 꽤 잘 근사할 수 있어.
격자 정사각형을 충분히 작게 만들면, 원하는 만큼 정확한 근사를 얻을 수 있어.
그리고, 작은 격자 정사각형들이 이루는 영역은 하나의 영역과 동일하게 스케일링되기 때문에,
전체 영역도 또한 한개와 같은 비율만큼 스케일링 되지.
이 특별한 스케일링 팩터는
선형변환에 의한 영역의 변화를 나타내는 팩터로서 (factor: 인수, 약수와 의미는 비슷하지만 곱셈에 기반한다는 차이가 있음)
행렬식(determinant) 라고 불러.
뒤에서 이 선형변환의 행렬식(determinant) 를 계산하는 방법을 보여줄건데,
그런데 이게 무엇인지 이해하는 것은 계산법을 이해하는 것보다 훨~씬 중요해. 날 믿어봐.
예를 들어, 한 변환의 행렬식(determinant) 값이 3 이라면,
특정 지역의 크기는 팩터 3 만큼 증가해.
행렬식(determinant) 값이 1/2 라면,
영역크기를 1/2 크기로 축소시키는 것을 의미해.
2차원 변환의 행렬식이 0 이라면,
모든 공간이 찌부려뜨려져서 선이 될 수도 있어.
아니, 어쩌면 한 점이 될 수도 있지.
그럼 당연히, 어느 영역이든 크기가 0 이 될 거야.
이 마지막 예는 매우 중요한 것이라고 증명됐어.
주어진 행렬의 행렬식(determinant)값이 0 인지 확인하는 것은
계산할 수 있는지 없는지를 알려주는 거야. 이 변환과 관련된 행렬이
모든 것들을 더 작은 차원으로 뭉게버리는지를 말야.
앞으로 다음 동영상에서 좀 더 보여줄거야.
왜 이렇게 생각하는게 유용한 방법인지를.
하지만 당장은, 모든 시각적 직관을 잠시 내려놓았으면 좋겠어.
매우 아름다운 것이지만, 지금 일단은 그러자.
좋아, 근데 난 사실 고백할게 있어. 지금까지 꽤 틀리게 말한게 있어.
행렬식의 온전한 개념으로 볼때, 음수(-) 값을 허용해.
그럼 영역을 스케일링할때 음수값은 무엇을 의미하는 걸까?
바로 방향(orientation)과 관계가 있어.
예를 들면
이런 변환을 살펴봐봐.
공간을 뒤집는 느낌을 주고 있어.
만약 너가 2차원 공간에 있는 한 종이조각을 떠올렸다면,
변환이 마치 종이를 뒤집는 것과 같아.
이런 종류의 변환들을 일컬어 "공간의 방향(orientation) 뒤집기" 라고 불러. (역자: orientation 방향? 방위? 원점?)
i-hat 과 j-hat 을 통해 설명하는 방법도 있어.
이 벡터들이 시작위치를 봐봐. i-hat 의 왼쪽에 j-hat 이 있어.
변환 후에는, i-hat 의 오른쪽에 j-hat 이 있어.
공간의 방위이 반전되고 있지.
이런 일이 발생할때마다,
공간의 방위(orientation) 이 뒤집힐 때마다,
행렬식은 음수가 될 거야.
그래도 행렬식의 절대값은
여전히 영역 스케일링 관한 팩터로 볼 수 있어.
예를 들면
열 (1,1), (2,-1) 로 구성된 행렬이
나타내는 변환의 행렬값은
바로 -3 이야.
그리고 이것이 의미하는 것은
그 공간이 뒤집어졌다는 거야.
그리고 영역크기는 팩터3 으로 스케일링 됬어.
그럼 왜 음수 스케일링 팩터라는 개념이
방향 반전을 설명하는 자연스런 방법인지 알겠지?
이런 연속된 변환들을 생각해보자.
i-hat 과 j-hat 이 점점 가까워 지고 있어.
i-hat 이 가까워 지면서,
공간의 모든 영역이 점점 찌부려뜨려지고 있어.
그 동안에 행렬식 값은 점점 0 에 가까워져.
i-hat 과 j-hat 이 완전히 한 선을 이루게 되면
행렬식은 0 이야.
근데, i-hat 이 계속 이동하게 하면
행렬식 값이 음수가 되는게 자연스럽지 않을까?
자, 이것이 2차원에서 행렬식에 대한 설명이야.
3차원에서는 어떨것 같아?
3 × 3 행렬의 행렬식 값도 역시 얼마나 스케일링 하는지를 알려주지만,
하지만, 이번에는
부피(volume)가 얼마나 스케일링 되는지 알려줘.
2차원에서
이것을 가장 쉽게 생각해보는 방법은, 영역크기 1 에 해당하는 한 정사각형을 떠올려보는 거야.
그리고 그것의 변화를 쳐다봤지.
3차원에서도
이 방법은 상당히 도움이 돼.
하나의 1x1x1 큐브(정육면체)에 집중하는 거야.
이 정육면체 모서리에 각 단위벡터가 놓여있어.
i-hat, j-hat, k-hat 벡터가.
변환 후
이 큐브는 기울어지고 기울어진 큐브가 돼.
근데 이 모양에 딱 맞는 이름이 있어.
평행육면체 (parallelepiped).
두꺼운 러시아 억양을 가진 발음처럼 들려.
이 큐브는 부피가 1이고,
그리고 행렬식 값은 어떤 부피이든지 스케일링 팩터를 알려주니까
행렬식 값을 마치 평행육면체의 부피값으로 생각해도 될거야.
부피 1짜리 큐브가 바뀐 후의 부피로 말야.
행렬식 값이 0 이라면
모든 공간이 찌부려뜨려서 부피 0을 만든다는 의미이고,
찌부려져서 평면이나, 선, 가장 극단적인 경우에는
단일 점이 되는 경우야.
챕터 2장을 본 사람들은
이 말을 받아들일때
그 행렬의 열들은 선형의존(linearly dependent) 하다라고 할거야.
왜 그런지 알겠어?
음수 행렬식값일때는 어떨까?
3차원에서는 무슨 의미이여야 할까?
3차원에서 방향(orientation)을 설명하는 방법으로
오른손 규칙이 있어.
오른손의 집게손가락이 가리키는 방향이
i-hat 의 방향이 돼.
가운데 손가락이 가리키는 방향은 j-hat 방향,
그리고 알아차렸겠지만, 엄지손가락이 가리키는 방향은
k-hat 의 방향이야.
여전히 변환 이후에도 이 방향이 유지되려면,
방향(orientation) 이 바뀌지 않고,
양수 행렬식 값을 가진 경우야.
그렇지 않으면
변환 이후에 왼손으로 바꿔야 하는 경우에는
방향(orientation)이 반전된거고,
행렬식 값은 음수가 돼.
만약 너가 전에 본 적 없다면
아마 지금쯤 꽤 궁금한게 생겼을꺼야.
"실제로 어떻게 행렬식을 계산하는 걸까?"
a,b,c,d 변수로 이루어진 2x2 행렬에서
공식은 (a * d) - (b * c) 였어.
이 공식이 어떻게 나왔는지는 직관을 발휘할 부분이야.
b, c 둘 다 0 이라고 해보자.
그리고, a 를 i-hat 을 x축 방향으로 스케일링하는 요소로 보고,
d 의 경우에는 j-hat 을 y 축방향으로 스케일링하는 요소로 보자.
다른 값들(b,c)은 모두 0이기 때문에
행렬식 결과는 a * d 가 될거야.
그럼 단위 정사각형이 변환 후에 직사각형이 될거야.
앞서나온 행렬 (3, 0, 0, 2) 의 경우와 똑같아.
b, c 값 중 하나만 0 이라도,
평행사변형을 얻게될거야.
밑변 길이가 a 이고, 높이가 d 야.
그래서 영역 크기는 똑같이
a * d 가 돼.
비공식적으로 말하자면
b, c 가 둘 다 0 이 아닌 경우엔
b * c 값이 알려주는 것은 이 평행사변형의 얼마나
대각선 방향으로 늘려지거나 찌그러지를 말해줘.
아마 b * c 에 대한 좀 더 정확한 설명을 듣고 싶은 사람도 있을텐데
여기에 그런 사람들을 위해 도움될만한 다이어그램을 준비했어.
만약 손으로 직접 행렬식 값을 계산할 생각이라면
너가 알아야만 할 것이 있어.
그것을 익히는 유일한 방법은
몇번 연습해보는 방법밖에 없어.
계산에 관해서는 영상이나 준비한 말은 별로 없어.
이 모든 것들은 3차원에서 행렬식에 대해서도 모두 참이야.
여기 공식이 있어.
만약 너가 이 공식에 대해 뭔가 알아내고 싶다면
몇가지 행렬들로 연습을 해야만 해.
아니면 살만 칸(Sal Khan) 의 동영상 몇개를 찾아봐봐.
솔직히 말해서 이런 계산은 선형대수의 본질은 아닌 것 같아.
난 행렬식값이 무엇을 나타내는지 아는 것이
본질에 해당한다고 생각해.
다음 동영상으로 가기전에 생각해볼만한 재밌는 퀴즈가 있어.
두 개의 행렬을 곱한 후 얻어지는 행렬식값은
따로 두 행렬의 행렬식값을 구해서 곱하는 것과 같을까?
만약 숫자로 이것을 증명하려 한다면,
꽤 오랜 시간이 걸릴거야.
한 문장으로 왜그런지 설명을 한번 해봐.
다음에는
지금까지 다룬 선형변환 개념을 다른 것과 엮어볼거야.
선형대수가 가장 유용한 분야들 하나야.
선형 방정식계를 사용하는 분야지.
그럼 다음에 만나!
댓글 중.
This is what I thought about the property Grant mentioned in the end.
Multiplying two matrices means that we are applying one transformation , then the other.
The first transformation scales a unit area by “c” , and the second transformation scales the scaled area by “d”.
So the overall scaling for the 1x1 unit square is “c” times “d “ .
Now, looking at the right hand side we have the product of determinants.
Since the determinants of the respective matrices are “c” and “d” , their product is “c times d”.
If anyone has a better explanation please let me know. Thank you for your time .
