Nonsquare matrices as transformations between dimensions | Chapter 8, Essence of linear algebra

https://www.youtube.com/watch?v=v8VSDg_WQlA&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=8 

 

안녕 모두들!
오늘 챕터사이 각주 분량의 짧은 내용을 가져왔어.
지금까지 선형변환에 대해서 얘기했는데,
단지 2차원벡터에서 2차원벡터로 변환되는 것만 얘기했었어.
2x2 행렬만 다뤘었지.
혹은 3차원벡터에서 3차원벡터로 이동하는 3x3 행렬을 다루거나 말야.

하지만 몇몇 리플을 보니 비정사각 행렬에 대한 질문이 올라오더라고.
그래서 잠깐 시간을 내서 기하학적으로 이 행렬들이 어떤지 보여주려고 해.
이 시리즈의 지금쯤이면, 넌 이미 충분한 배경지식을 가지게 되서
이 질문에 대해 스스로 찾아볼만한 단계일거야.
난 여기선 약간의 멘탈 모멘텀만을 주려고 해.
차원들 사이에서의 변환들을 얘기하기에 확실히 괜찮은 것 같아.
2차원 벡터를 3차원 벡터로 변환하는 것들이야.

다시말하지만, 선형(linear) 이라는 것은
격자선이 평행하고 균등간격을 가질때야, 그리고 원점은 계속 원점이지.
내가 여기 그림으로 보여주는 것은 입력값이 왼쪽, 즉 2차원 공간이고,
변환의 결과값은 오른쪽에 보여주고 있어.
여기서 내가 그동안처럼 입력을 출력으로 변하는 동영상을 보여주지 않는 이유는
애니메이션을 만들기 귀찮기 때문이 아니야.
2차원 입력벡터가 3차원 출력벡터와 다르다는 것을 강조하기 위해서야.
둘은 완전히 다른, 연결되지 않는 공간에 존재하는 벡터야.
이런 변환행렬은 우리가 여지껏 다뤘던 행렬과는 상당히 달라.

기저벡터의 움직임을 살펴보자.
행렬의 열들이 그 좌표값이 되겠지.
예를 들어, 여기 보이는 것은 변환의 결과야.
(1,0) 에서 i-hat 은 (2,-1,-2) 가 되고, (0,1) 에서 j-hat 은 (0,1,1) 이 돼.
주목할 점은 3 행, 2 열로 된 행렬이라는 거야.
표준 용어를 사용하자면, 3x2 행렬이라고 표현해.
지난번 동영상의 설명을 빌리자면, 행렬의 열공간은
3차원 공간의 원점을 가로지르는 2차원 평면상의 모든 벡터가 돼.
하지만 행렬은 여전히 full rank 야.
이 열공간의 차원수가 입력공간의 차원수가 같기 때문이야.

그래서 3x2 행렬의 결과는 거칠게말하면,
기하학적 해석으로는 2차원 공간을 3차원 공간으로 매핑하는 것으로 볼 수 있어. (역주: 평면 -> 평면이지만, 3차원에서 볼때 기울여짐)
두 열이 입력공간의 두 기저벡터를 말하는 거라서
기저벡터의 도착지인 각 열의 3개의 행은
3개의 다른 좌표값을 나타내.
마찬가지로, 2x3 행렬은 2행 3열로 이루어진 행렬로, 이 행렬은 어떤 변환을 의미할까?
3개의 열은 3개의 기저벡터를 가진 공간에서 시작했다는 뜻으로,
3차원에서 시작했다는 말이지.
그리고 2개 행이 의미하는 것은 세 기저벡터의 변환후를 말해주는 것으로
여기선 단지 좌표값 2개만을 가지고 있어.
그래서 2차원으로 이동해야만 해.
그래서 3차원 공간에서 2차원 공간으로의 변환이야. (역주: 일종의 투사, 투영)

이 변환은 좀 불편하게 느껴지는데, 머리속으로 상상해보면 그럴거야.
2차원에서 1차원으로 이동하는 변환도 가능해.
1차원 공간은 단지 하나의 수선이지.
그래서 2차원 벡터입력을 받아 결과로 숫자 하나를 내놓지.
격자선이 평행하고 균등간격을 유지한다는 점에서 볼때
여기서 일어나는 축소변환은 좀 골치아퍼.

그래서 이경우엔, 선형(linearity) 의 의미를 시각적으로 살펴볼게.
균등 간격의 점이 찍힌 선을 생각해봐.
균등 간격을 유지하면서 수선으로 매핑하는거야.
이런 변환들 중 하나는 1x2 행렬로 표현될거야.
두 열들 각각은 하나의 숫자만 갖지.
두 열은 기저벡터의 도착지를 나타내고.
그래서 각 열들은 하나의 숫자만 있으면 되고, 그 숫자가 기저벡터의 도착지야.
이건 dot product 와 관련해서 상당히 놀라운 의미를 가지고 있어.

다음 동영상에서 설명할거야.
그때까지, 너가 이 개념을 자신의 것으로 만드는데 시간을 갖길 바래.
행렬 곱셈과 선형방정식계에 대해서 고민해봐.
다른 차원들 사이에서의 변화이라는 문맥에서 고민해봐. (역주: 높은차원으로 가는 것은 평면이 3차원 공간에서 비틀리는 것과 유사하고, 낮은 차원으로 가는 것은 투사하는 것과 유사한듯)
재미있게 보내!