Linear transformations and matrices | Chapter 3, Essence of linear algebra

https://www.youtube.com/watch?v=kYB8IZa5AuE&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=3 

 

불행하게도, 누구도 매트릭스가 무엇인지 말할 수 없습니다. 당신 스스로 찾아야만 합니다.
- 모피어스 (영화 매트릭스 중에서)
(행렬 연산을 시각적으로 이해시키는 놀라울정도로 적절한 문장)

안녕 모두들! 제가 선형대수에서 단지 하나의 주제를 선택해야 한다면,
특히 선형대수에 대해 하나도 모르는 학생을 위해서 하나 선택해야 한다면,
그것은 선형변환(linear transformation) 과 행렬과의 관계입니다.
이 동영상에서는 2차원 예제를 통해 선형변환이 무엇인지에 관해 집중해보겠습니다.
그리고 행렬-벡터 곱셈과 어떤 관련이 있는지도 알아보겠습니다.
특히, 행렬-벡터 곱셈을 단순암기말고 가능한 다른 방법도 있다는 것을 보여드리겠습니다.

시작하기 앞서, "선형 변환" 이라는 용어를 알아봅시다.
"변환" 은 근본적으로 "함수"의 다른말일 뿐입니다.
입력을 받고 결과물을 반환하는 그 무엇입니다.

선형대수 맥락으로 보자면, 특정 벡터를 다른 벡터로 바꾸는 변환같은 것입니다.
그런데 같은 의미라면, 왜 굳이 "함수(funcction)" 라는 말대신 "변환(transformation)" 이라는 말을 사용하는 것일까요?
글쎄요,
입력 - 출력 관계를 시각화하는 특정 방법을 암시해줍니다.
알다시피, 벡터 함수를 이해하는 가장 좋은 방법은 움직임으로 이해하는 것입니다.
어떤 변환이 입력벡터를 출력벡터로 바꾼다면,
우리는 이것을 입력벡터를 이동시켜서 출력벡터로 만드는 것으로 생각해볼 수 있습니다.
이 변환을 벡터들 모두에 적용한다고 생각해보면,
모든 가능한 입력벡터들을 가져다 움직여 그에 상응하는 결과벡터를 만들어내는 것을 상상해볼 수 있습니다.
화살표로 그려진 모든 벡터들의 움직임을 한번에 생각하는 것은 혼란스럽습니다.

제가 지난번 동영상에서 언급했다시피, 각 벡터를 개념화하는 방법은 화살표가 아니라,
하나의 점으로 생각하는 것입니다. 점 하나가 벡터 하나의 끝을 가리킵니다.
이 방법은 어떤 변환이 입력벡터들을 출력벡터로 바꾸는 것을 쉽게 생각하게 해줍니다.
마치 공간상의 모든 점들이 다른 점으로 이동하는 것처럼 생각하면 됩니다.

2차원에서 변환을 예로 살펴보면,
변환에 대한 전체 "형태"가 어떤가를 좀 더 쉽게 와닿을 겁니다.
저는 무한한 크기의 격자선을 만들고, 그 위의 점을 가지고 살펴보는 것을 좋아합니다.
또 때로는 변경전 격자선을 뒷배경에 남겨두는 방법도 좋아하는데,
이렇게 하면 움직임 전 후를 추적해 보는데 도움이 됩니다.
다양한 변환들의 효과로 인한 공간상에서 움직이는 점들을 보고 있노라면,
당신도 느끼겠지만,
아름답습니다.
공간 그 자체가 특수효과처럼 비틀리고 수축하는 느낌을 줍니다.
당신도 생각하다시피, 임의 변환의 결과가 상당히 복잡해 보이지만,
다행히도, 선형대수에서는 특수한 형태의 변환으로만 제한됩니다.

이름도 기억하기 쉬운 "선형" 변환입니다.
시작적으로 볼 때, 변환이 선형적(linear) 하다는 것은 두 가지 속성을 의미합니다.
모든 선들은 변환 이후에도 휘지 않고 직선이어야 하며,
원점은 변환 이후에도 여전히 원점이여야 합니다.

예를들어, 보이는 것같이 선이 휘어지게 만들어 지는 변환은 선형변환이 아닙니다.
그리고 이 변환은 비록 직선은 유지하지만,
원점이 이동하기 때문에 선형 변환이 아닙니다.
이번 것은 원점도 고정되어 있고 라인도 직선을 유지하는 것처럼 보이지만,
하지만, 이것은 제가 단지 수직선과 수평선만을 그렸기 때문입니다.
대각선을 그려보면, 직선이 아니라 곡선으로 바뀌는 것을 볼 수 있습니다.

일반적으로, 선형변환이라면 격자 라인들이 변형 이후에도 여전히 "평행"하고 "동일한 간격"으로 있어야 합니다.
어떤 선형변환의 경우에는 원점 기준으로 회전처럼 간단합니다.
하지만 어떤 변환은 쉽게 설명하기 까다롭습니다.

그럼 이런 변환들을 수치적으로는 어떻게 설명할 수 있을까요?
당신이 만약 이 주제를 설명하기 위해 애니메이션 동영상을 프로그래밍 한다면,
어떤 공식을 컴퓨터에 넣어야, 벡터의 좌표값을 입력해서
결과 벡터 좌표값이 나오도록 할 수 있을까요?
결론은 두 개의 기저벡터 (i-hat, j-hat) 가 어떻게 변하는지만 알면 해결됩니다.
다른 벡터들은 이 기저벡터들로 구하면 그만입니다.

예를 들어, 벡터 v (-1,2) 를 생각해봅시다.
좌표값은 i-hat 벡터의 -1배, j-hat 벡터의 2배를 의미합니다.
어떤 변환을 적용시켜, 그 결과 이 세 벡터가 어디로 이동하는지 따라가보면,
매우 중요한 결과로 격자 선들이 계속 평행하고 균등하게 분포한다는 속성을 발견하게 됩니다.
변환 후 v 는 변환된 i-hat 벡터의 -1배, 변환된 j-hat 벡터의 2배입니다.
즉, 변환전에 v벡터를 이루는 i-hat 과 j-hat 의 어떤 선형 결합이
변환 후에도 같은 선형결합을 유지합니다.
이 말은 단순히 i-hat 과 j-hat 의 변형위치만 알면, 벡터 v 를 추론할 수 있다는 것을 의미합니다.
이것이 변환 전 격자선을 배경에 계속 그려놓는 이유입니다.

지금 본 변환에서, 우리는 i-hat 벡터가 변환전 좌표계의 (1, -2) 위치로 옮겨진 것을 볼 수 있습니다.
j-hat 은 변환전 좌표의 (3, 0)에 있게됩니다.
따라서 (-1) i-hat + 2 j-hat 으로 나타낸 벡터는
변환후에는 (-1) (1, -2) + 2 (3, 0) 바뀌었습니다.
이를 종합하면, (5, 2) 벡터가 됩니다.
꽤 중요하기 때문에, 여기서 잠깐 멈춰서 숙고해봅시다.
지금,
실제로 변환이 어떤지 전과정을 보여주고 있기 때문에
벡터v 가 (5, 2) 로 변환된 것을 바로 알 수 있습니다,
여기 멋진 부분은 이 방법으로 어떤 벡터든지 변환후에 어디로 이동할지 알아낼 수 있다는 것입니다.
i-hat, j-hat 벡터 좌표를 알고있는 한,
변환이 어떤지를 볼 필요도 없습니다.
좀 더 일반화하자면, 벡터의 좌표값을 x, y 라 하면,
변환후 i-hat 벡터 (1, -2) 로부터 x 배와
변환후 j-hat 벡터(3,0) 의 y 배한 것을 합하면, 변환후 벡터를 구할 수 있습니다.
이제 그 합을 계산하면, 변환후 벡터의 위치는 (1x+3y, -2x+0y) 가 됩니다.
제가 어떤 벡터를 제시하든, 당신은 이 공식을 계산을 하면 바로 결과벡터를 말할 수 있습니다.

이처럼 2차원 선형 변환을 통해 이 모든 것들이
오로지 4개의 숫자면 설명 가능합니다.
바로 변환된 i-hat 의 두 개의 좌표값과
변환된 j-hat 의 두 개의 좌표값이 그것입니다.
정말 멋지지 않나요?

이 좌표값들을 2x2 숫자형태로 표현하는게 일반적 입니다. 바로 2x2 행렬입니다.
행렬의 컬럼들을 i-hat, j-hat 두개의 특별한 벡터로 해석할 수 있습니다.
만약 당신이 선형 변환을 묘사하는 2x2 행렬과
어떤 벡터를 주어진다면,
당신은 선형변환이 이 벡터를 어디로 변환시킬지 궁금할 것입니다.
일단 벡터의 좌표값을 취한다음에,
행렬의 대응되는 컬럼에 곱해줍니다. 그리고나서 합치면 얻을 수 있습니다.
이것은 변환후 새 기저 벡터들로 스케일링하고 합한다는 개념입니다.

일반적인 경우에 어떻게 되는지 살펴봅시다.
행렬의 인자가 a, b, c, d 로된 일반적인 경우를 말이죠.
기억하세요. 이 행렬은 단순히 형태를 잡은 것일 뿐입니다.
바로 선형 변환을 나타낼 뿐입니다.
항상 해석할때는 다음을 기억하세요. 첫번째 열 (a, c) 은
첫번째 기저벡터의 도착점이고,
그리고 두 번째 열 (b, d) 는, 두 번째 기저벡터의 도착점입니다.
이 변환을 어떤 벡터(x, y) 에 적용하면 어떨 결과를 얻게될까요?
글쎄요.
그것은 (a, c) 의 x 배, 더하기, (b, d) 의 y 배 일 것입니다.
결론은 (ax+by, cx+dy) 벡터를 얻습니다.

당신은 행렬-벡터 곱셈으로 이와 똑같은 연산을 할 수 있습니다.
벡터 왼쪽에 행렬을 놓게되면,
이 행렬은 함수와 같아집니다.
그리고, 당신이 고등과정 학생에게 이것을 암기하게 할 수 있을 겁니다.
직관적으로 느꼈던 핵심부분을 보여주지 않고도 말입니다.
그러나,
행렬의 열을 이렇게 생각하는게 더 재밌습니다.
기저벡터의 변환된 형태로서 말입니다.
그리고 그 결과를 생각할때는
이 변환된 벡터들의 선형조합으로 여기는 것이 더 재밌습니다.

몇가지 선형 변환을 나타내는 행렬을 가지고 연습을 해봅시다.
예를 들어,
만약 모든 공간을 90 ° 시계 반대 방향으로 회전시키면,
i-hat 벡터의 좌표값은 (0, 1) 가 되고,
j-hat 벡터의 좌표값은 (-1, 0)이 됩니다.
그래서 결론으로 얻은 행렬은
(0, 1), (-1, 0) 입니다.
90 ° 회전 한 후 다른 벡터들이 어떻게되는지 파악하기 위해,
단순히 이 행렬을 곱하기만 하면 됩니다.
여기 "shear"라는 특별한 이름을 가진 흥미로운 변환이 있습니다.
이 변환에서, i-hat 은 변하지 않아서
따라서 행렬의 첫번째 열은 (0, 1) 이지만,
그러나 j-hat 은 (1,1) 위치로 변합니다.
이것이 매트릭스의 두 번째 열이 됩니다.
불필요하게 반복하는 것 같지만?,
이 shear 변환이 벡터를 어떻게 변환시키는지 알아내는 것은
이 행렬에 벡터를 곱해 나가는 것과 같습니다.
다른 방향으로 생각해봅시다.
열 (1, 2), (1, 3) 인 행렬을 가지고,
이 변환이 어떤것인지 추론해 봅시다.
잠깐 멈추고, 잠시 시간을 갖고 그 변환이 어떨지 생각해봅시다.
이렇게하는 한 가지 방법은
우선 i-hat 을 (1, 2) 로 이동시킵니다.
그런 다음, j-hat 을 (3, 1)으로 이동시킵니다.
공간의 나머지 부분도 움직이는 데
격자선은 여전히 평행하고 규등한 간격을 유지하면서 움직입니다.

i-hat 과 j-hat 벡터가 선형 종속(linearly dependent) 이라면
, 동영상 마지막에 다시 한번 정리할텐데,
벡터 하나가 다른벡터의 스케일링 버전임을 뜻합니다.
즉, 이 선형 변환은 2차원 공간을 수축(squish) 시켜
두 벡터가 놓여있는 선으로 만드는 것을 의미합니다.
1차원 스팬(span)으로,
이 선형 종속적인 두 벡터의 스팬입니다.
요약하면, 선형변환은
공간을 이동시키는 방법이며,
격자선이 여전히 평행하고 균등간격을 유지한 변형입니다.
그리고 원점은 고정되있음을 의미합니다.

기쁘게도,
이 변환들을 간단한 숫자들로 설명가능합니다.
바로 기저벡터들의 변형후 좌표값입니다.
행렬은 우리에게 이러한 변환을 설명하는 언어를 제공해줍니다.
행렬의 열들은 이 좌표값을 나타내며,
행렬 - 벡터 곱셈은 단지 이것을 계산하는 방법입니다.
이 변환이 주어진 벡터에 적용한 결과를요.
여기서 중요한 것은 바로 이것입니다.
당신이 행렬을 볼때마다
공간의 어떤 변환으로 생각하십시오.
이 아이디어를 잘 습득하면,
당신은 선형 대수를 깊게 이해할 수있는 좋은 위치에 있게 됩니다.

앞으로 다룰 거의 모든 주제들은,
, 행렬 곱셈부터 행렬식(determinant)까지,
기저의 변환, 고유값(eigenvalues),
이 모든 것을 이해하기가 쉬워질 것입니다.

당신이 일단 행렬을 공간의 변형과 같이 생각하게 된다면,
그 다음은 바로, 다음 동영상에 나오는,
두 행렬의 곱셈에 대한 것입니다.
나중에 다시 만나요!