Linear combinations, span, and basis vectors | Chapter 2, Essence of linear algebra

Linear combinations, span, and basis vectors | Chapter 2, Essence of linear algebra

https://www.youtube.com/watch?v=k7RM-ot2NWY&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=2 

 

지난번 비디오에서 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈과 함께 벡터 좌표를 설명하였습니다. 
예를들어 숫자쌍과 2차원 벡터라는 개념들 사이를 오가면서 말이죠.
이제, 여러분들에게 벡터 좌표가 많이 익숙해 익숙해졌다고 생각합니다.

그런데 이런 좌표들을 다른방식으로 볼 수 있는 흥미로운 또 다른 관점이 있습니다.
선형대수에서 꽤나 중심에 해당하는 것인데요.
[3, -2] 와 같은 벡터를 묘사하는 숫자쌍이 있을때
저는 각 좌표값을 하나의 스칼라(scalar)로써 생각해봤으면 합니다.
즉, 각각 좌표값이 벡터를 어떻게 늘리고 줄일지에 대한 정보라는 것이죠.
xy 좌표계에서, 매우 특별한 두가지 벡터가 있습니다.
바로, 오른쪽 방향의 길이 1 벡터로 "아이-헷(i-hat)" 이라 부르며, x 축의 단위벡터(unit vector)라고도 합니다.
그리고 위쪽 방향으로 길이 1인 벡터를 "제이-헷(j-hat)" 이라고 부르거나
y 축의 단위벡터(unit vector)라고 합니다.

이제, 벡터의 x 좌표값을 스칼라로서 i-hat 벡터를 늘리고 줄인다고 생각해봅시다. 팩터값 3 을 가지고 말이죠.
그리고 y 좌표값도 j-hat 벡터를 늘리고 줄이는 스칼라고 생각해봅시다. 방향을 반대로 뒤집고 팩터 2 만큼 늘리는 것이죠.
이런 방식에서 보면, 이 벡터를 2 개의 또 다른 벡터들을 스케일링하고 더한 결과로 볼 수 있습니다.
단순히 스케일링 된 두 벡터의 합이라고 보는 개념은 매우 중요한 컨셉입니다.
그런데 i-hat, j-hat 이라는 두 벡터는 매우 특별한 이름을 가지고 있는데요.
이 둘을 좌표계의 기저(basis) 라고 부릅니다.
즉, 설명하자면, 좌표값을 스칼라로 생각해보면,
기저(basis) 벡터들은 그 스칼라(좌표값)가 스케일링 하는 대상이 됩니다.
나중에 다루겠지만, 좀 더 기술적은 정의를 보자면,
우리의 좌표계를 이 두개의 특별한 기저벡터로 구성(framing) 하는 것입니다.

이렇게 하면 미묘하면서도 매우 흥미로운 것이 발생하는데요.
만약 다른 기저 벡터를 선택한다면, 또 하나의 완전한 새 좌표계를 얻게됩니다.
예를 들어, 위-오른쪽을 가리키는 벡터가 있고,
아래-오른쪽을 가리키는 벡터가 있다고 할 때,
다른 모든 벡터들을 이 두 백터에 적절한 두 개의 스칼라를 선택함으로써 표현할 수 있다는 것입니다.
각 스칼라는 각 기저벡터 하나를 스케일링하는 것이고, 두 스케일링 된 벡터를 더하는 방법으로요.

어떤 2차원 벡터들이 이러한 스칼라와 기저벡터 조합으로 표현 가능할까요?
정답은 모든 2차원 벡터들이 가능하다는 것입니다.
그리고 왜 그런지에 대한 고민은 좋은 수수께끼라고 생각합니다.
여기 소개된 새로운 기저벡터 쌍은 우리에게
숫자쌍과 2차원 벡터들 사이를 오갈 수 있는 유효한 길을 제공해줍니다.
하지만 그 앞뒤로 오가는 연관성은
좀 더 표준적인 기저, i-hat 과 j-hat 를 사용했을때와는 확실히 다릅니다.
좀 더 세부사항은 나중에 다루겠지만,
다른 좌표 시스템들 사이의 구체적 관계는, 당장은 다음 설명정도만 언급하고 넘어가겠습니다.
수치로 벡터들을 표현할 때, 우리는 암묵적으로 특정 기저 벡터들을 선택한 상태라는 것입니다.
그래서 두 벡터를 스켈링하고 나서 더하는 것을
두 벡터의 선형조합(linear combination)이라고 부릅니다.

근데 "선형(linear)" 이라는 단어는 어디서 온걸까요? 왜 이런 동작이 선과 관련이 있는 걸까요?
글쎄요. 어원과는 다르지만, 저는 이런식으로 생각합니다.
만약 그 스칼라 중 하나를 고정하고, 다른 하나만을 자유롭게 변경해보면,
결과 벡터의 끝은 하나의 직선을 만듭니다.
지금, 두 스칼라 모두를 자유롭게 바꿔놓고 결과 벡터를 살펴보면,
두 가지 상황이 발생합니다.
하나는 대부분의 벡터쌍의 경우, 평면 모든 점에 도달할 수 있을 것입니다.
즉, 모든 가능한 2차원 벡터를 만들어 낼 수 있죠.
그러나, 두번째로, 불행히도 두 벡터 조합 결과가 선(line) 하나만 가능한 경우도 있습니다.
결과 벡터의 끝이 원점을 통과하는 직선위로 제한되는 것이죠.
사실, 기술적으로 보자면 세 번째 가능성도 있습니다.
두 벡터 모두 제로(zero)벡터여서, 모든 결과 벡터가 원점안으로 갇혀버립니다.
좀 더 전문용어를 사용하면 다음과 같습니다.
주어진 두 벡터 쌍의 조합으로 나타날 수 있는 결과 벡터들의 집합을
두 벡터의 스팬(span = 확장공간?) 이라고 합니다.

그래서 전문용어를 사용해서 다시 과정을 살펴보면,
2-차원 벡터쌍의 스팬(span) 은 대부분의 경우 2차원 공간 전체가 되지만,
스팬(span)이 특정 선 위로 제한되는 경우도 있습니다.
제가 예전에 선형대수는 벡터합과 스칼라곱의 주위를 돌며 이뤄진다는 말 기억하시나요?
두 벡터의 스팬(span)은 기본적으로 이렇게 묻는 것과 같습니다.
"오로지 두 가지 기본 연산을 가지고 도달 가능한 벡터들의 집합은 어떠한가?"
"오직 벡터합과 스칼라곱 연산만을 가지고서."

이제 벡터(vector)를 점(point)으로 옮겨 생각하는 방법을 알아봅시다.
벡터 집합전체가 하나의 선위에 놓여있다고 생각해보면 매우 혼잡하게 느껴집니다.
더욱 혼잡하게 느껴지는 것은 평면을 채우고 있는 모든 2차원 벡터들을 한번에 떠올리는 것입니다.
그래서 벡터 집합을 다룰 때는 다음처럼 생각해봅시다.
벡터하나를 공간상 하나의 점으로 여기는 것이죠.
지금까지와 같이, 벡터의 끝이 각각의 점이되고, 모든 벡터의 꼬리는 원점에 있는 상황을 말이죠.
이런 식으로 보면, 특정 선에 놓여있는 결과벡터들을 생각할 때는,
그저 선(line) 그 자체로 보면됩니다. (선은 점들의 집합)

마찬가지로, 평면에 대해서도 모든 2차원 벡터들을 떠올리때면,
각 벡터들의 끝이 가리키는 점(point) 들로 개념화하면 좋습니다.
그럼 결과적으로, 무한하고 평평한 2차원 평면 그 자체를 떠올리는 것과 같아집니다.
화살표라는 개념은 잠시 남겨두고요.

일반적으로, 하나의 벡터를 생각할 때는 하나의 화살표로 생각하는 것이 좋습니다.
벡터의 집합을 다룰때는 모든 점들로 생각하는 것이 편리하고요.
그래서, 예로 든 스팬을 보면, 대부분의 벡터쌍의 경우 스팬 결과는
무한한 2 차원 공간 그 자체가 됩니다.
하지만, 선모양을 이룬다면, 스팬은 그냥 선(line) 이 될 뿐입니다.

스팬과 같은 개념은 3차원 공간을 다룰때 더욱 흥미로워집니다.
예를 들어, 3차원 공간에서 서로다른 두 벡터를 선택하면
그 두 벡터의 스팬(span) 은 어떤 모양일까?
흠, 두 벡터의 모든 선형조합의 결과과 스팬(span)이라 하고,
이는 두 벡터를 벡터합과 스칼라곱을 통해 이리저리 조합해서 만들 수 있는 모든 벡터들을 의미합니다.

당신은 두 스칼라를 변화시키는 두 개의 손잡이로 생각해볼 수 있습니다. 선형조합 정의에서 나온 스칼라들로
두 스케일링 된 벡터의 합에 영향을 주고, 따라서 결과 벡터의 끝에도 영향을 줍니다.
그 끝은 3 차원 공간의 원점을 가로지르는 평평한 공간이 될 것입니다.
이 평면이 두 벡터의 스팬(span, 확장공간)입니다.
좀 더 정확하게 말하자면, 평면위에 끝(tip)을 놓는 모든 벡터들의 집합이 두 벡터의 스팬입니다.
어때요? 매우 아름다운 마음의 상이지 않나요?

그럼 3번째 벡터를 추가하고 나면, 이 벡터들이 만드는 스팬(span)은 어떨까요?
이 세 벡터의 선형조합은 두 벡터의 선형조합 방식과 거의 같습니다.
이번엔 3개의 스칼라를 가지고 세 벡터를 스케일링하고 나서 합하는 선형조합입니다.
그리고 또다시, 세 벡터의 스팬은 모든 가능한 선형조합의 결과집합입니다.

단, 두가지 다른 상황이 발생할 수 있습니다.
세 번째 추가한 벡터가 다른 두 벡터가 만드는 스팬(span, 여기선 평면일듯) 에 놓여있다면,
세번째 벡터를 추가해도 스팬이 바뀌지 않습니다. 똑같은 평면에 그대로 입니다.
다른말로 설명하자면, 세번째 벡터를 추가하고 아무리 선형조합을 해봐도,
기존 스팬 밖에 새로운 벡터를 만들어내지 못합니다.
하지만, 무작위로 세번째 벡터를 선택하면, 다시말해 두 벡터의 스팬 평면에 놓여있지 않은 벡터를 선택한다면,
그럼, 새로운 방향을 가리키는 것이 가능해져서
이제 3차원의 모든 벡터들에 대한 접근이 가능해집니다.

제가 이것에 대해 생각하는 좋은 방법은 다음과 같습니다. 세번째 벡터를 스케일링해보면서
기존 두 벡터의 스팬 평면위에 갇혔는지 확인해봅니다.
생각해보는 또 다른 방법으로는, 스칼라를 마음껏 변화시켜서
3차원 공간 전체에 대해 접근가능한지 판단해 보는 것입니다.
그럼, 세번째 벡터가 두 벡터의 스팬 위에 놓여있거나,
아님 두 벡터의 스팬이 이미 선인 경우라면,
이런 상황을 설명하는 용어가 있으면 좋겠는데요,
불필요한 벡터가 있어서 그 벡터를 추가해도 스팬을 더 확장되지 않는 상황을 말이죠.
즉 스팬의 축소없이 하나 이상의 벡터를 제외시켜도 되는 경우,
전문용어로 "선형 종속(linear dependent)" 이라고 합니다.
또다른 표현으로는, 벡터들 중 하나가 다른 벡터들의 선형조합으로 표현 가능한 경우입니다.
이미 다른 벡터의 스팬에 포함되는 경우를 말하죠.

반면에, 각각의 벡터가 기존 스팬에 또 다른 차원을 추가해주는게 가능하다면
"선형 독립적(linear independent)"라고 합니다.
자 그럼 여러 용어들과, 좋은 이미지 개념들을 잘 지니길 바랍니다.

다음으로 넘어가기전에 아래와 같은 질문을 생각해보길 바랍니다.
기술적 정의로 보면, '공간의 기저(basis) 는 선형독립적인 벡터들의 집합으로 스팬하면 그 공간이 된다' 입니다.
이제, 앞에서 기저(basis) 를 설명한 것과
그리고 "스팬(span)" 과 "선형 독립(linear independent)" 라는 개념을 가지고
이 정의가 왜 맞는말인지 생각해보세요.
다음 동영상에서는 행렬과 공간변형에 대해 다룰 것입니다. 그때 만나요!