Vectors | Chapter 1, Essence of linear algebra

https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=1 

 

기본적, 근본적인 선형 대수의 구성조각은 벡터입니다.
그래서 우리가 정확히 벡터가 무엇인지에 대해 알고가는 것이 중요합니다. 당신도 알다시피
벡터에 대해 서로 구별되지만 관련깊은 3 가지 관점이 있습니다. 
하나는 물리학 학생 관점이고,
두번째는 컴퓨터 과학 학생 관점, 
마지막으로 수학자들의 관점입니다.

물리학 학생의 관점에서 벡터는 공간에서 화살표입니다.
벡터는 길이와 방향을 가집니다. 이 두가지가 같다면
당신이 공간 어디로 이동시키든 같은 벡터입니다. 평평한 평면에 존재하는 벡터는
2차원 벡터이고, 우리가 살고 있는 공간같이 확장된 공간에 있다면 3차원 벡터입니다.

컴퓨터 과학 관점에서 벡터는 순차 숫자 리스트입니다. 예를들어,
당신이 주택 가격 분석작업을 하고 있다고 가정해봅시다. 당신이 고려하는 것은 오직
면적과 가격입니다. 그럼 각각의 집을 숫자쌍으로 모델링 할 수 있습니다.
첫번재는 면적이고, 두번째는 가격을 나타냅니다. 순서가 중요하다는 것을 주의하세요.
전문 용어로, 당신은 집을 2차원 벡터로 모델링한 것입니다. 이 문맥으로 보면,
"벡터" 란 단순히 "리스트"에 대한 장식같은 단어입니다. 2차원 벡터가 된 이유는
리스트의 길이가 2이기 때문입니다.

다른 한편으로, 수학자는 위 같은 관점들을 좀 더 일반화하는 방법을 찾습니다. 그래서 이 관점에서 보자면,
무엇이든 벡터가 될 수 있습니다. 두 벡터를 합한다는 개념에 맞고,
벡터에 숫자를 곱한다는 개념에 맞기만하면 됩니다. 또 여러 연산들을 만족해야하는데, 더 세부사항은
다소 추상적이여서, 저는 비디오 시리즈 마지막까지 무시하고 가는게 낫다고 생각합니다.
그리고 중간에 좀 더 구체적인 설정을 놓겠습니다.

하지만 여기 가지고 온 이유는, 벡터 합이라는 개념과
숫자 곱셈이라는 개념은 선형 대수 전반에 걸쳐 중요한 역할을 담당하기 때문입니다.
하지만 이런 연산들에 대해 알아보기 전에, 다음과 같은 생각을 마음에 먼저 떠올려봅시다.
바로 제가 단어 "벡터"를 말할 때는, 기하학 관점에서
제가 벡터를 포함하는 새로운 주제를 소개할 때마다 당신이 하나의 화살표를 떠올렸으면 합니다.
xy 평면과 같은 좌표계 안에 있으며 꼬리는 원점인 화살표를 떠올려주세요.

이것은 물리학 학생의 관점과는 조금 다른데, 물리학 관점에서는 벡터는 자유롭게
공간 어디든지 이동시킬 수 있습니다. 하지만, 선형 대수에서는 거의 항상
원점에 뿌리를 둡니다. 이렇게 공간의 화살표라는 문맥에서 새 컨셉을 이해하면,
우리는 숫자-리스트 라는 관점으로 번역해볼 겁니다. 이 숫자리스트는 벡터의 좌표를 의미합니다.
저는 지금 여러분들이 이런 좌표 시스템이 익숙하다고 여기기 때문에
선형대수의 이같은 2가지 관점을 오가는 것은 도움이 됩니다. 선형대수의 두 관점사이를 오가는 과정속에서 중요한 것들이 나타나기 때문입니다.

잠시동안은 2차원에 대해서 초점을 맞추겠습니다.
수평선을 X 축이라하고, 수직선을 Y 축이라고 합니다.
평면에서 두 선이 교차하는 곳을 원점이라고 부릅니다. 이 원점을 공간의 중심이자 모든 벡터 뿌리가 위치하는 곳이라고 생각하면 됩니다.
임의 길이를 1로 결정한 후, 각 축에 그 간격으로 눈금을 표시합니다.
제가 2 차원 공간의 개념을 전달하고자 할 때, 앞으로 비디오들에서 보게시겠지만,
벡터의 좌표는 숫자쌍입니다.
이 숫자쌍은 꼬리(원점)에서 시작한 벡터가 끝에 어떻게 다다를지 알려줍니다.
첫 번째 숫자는 x 축을 따라 얼마나 가는지 알려줍니다. 양수이면 오른쪽방향입니다.
음수이면 왼쪽방향입니다.
두 번째 숫자는 Y 축과 평행한 방향으로 얼마나 이동할지 알려줍니다. 양수면 위쪽방향, 음수면 아래쪽방향입니다.
좌표점과 벡터를 구분하기 위해, 관례적으로
대괄호 안에 세로방향으로 숫자를 적습니다.
모든 숫자쌍은 각각 하나의 벡터와 대응되고, 반대로 모든 벡터는 각각 대응되는 숫자쌍이 하나있습니다.

3차원에서는 어떨까요? 우선 z 축 이라는 세 번째 축을 추가합니다.
이 축은 x 축, y 축에 모두 수직입니다. 이렇게 되면 각 벡터는
순차 삼중 숫자쌍에 대응됩니다. 첫 번째는 x 축을 따라 얼마나 이동할지,
두번째는 y 축에 평행하게 얼마나 이동할지, 세 번째는 z 축에 평행하게 얼마나 이동할지를 말해줍니다.
모든 삼중 숫자쌍은 특정한 하나의 벡터를 나타내고,
모든 벡터는 하나의 삼중 숫자쌍 표현을 가집니다.

그럼 다시 벡터합과 숫자곱으로 돌아와봅시다. 결국 선형대수의 모든 주제는
이 두가지 연산을 중심으로 일어납니다. 다행히, 각각 정의하는 방법은 매우 간단합니다.
두 벡터가 있다고 가정해봅시다. 하나는 위쪽과 약간 오른쪽을 가리키고,
다른 하나는 오른쪽과 약간 아래쪽을 가리킵니다. 이 두 벡터를 더한다는 것은 두번째 벡터의 꼬리를 첫번째 벡터의 끝에 옮기는 것을 말합니다.
그리고나서 첫번째 꼬리에서 두번째 끝을 가리키는 새 벡터를 그립니다.
바로 이 새 벡터가 두 벡터의 합입니다.

그런데, 합에 대한 이러한 정의는
선형대수에서 거의 유일하게 벡터를 원점으로부터 멀리 이탈시키는 순간입니다.
그럼 이렇게 정의하는 것이 타당할까요? 이런 벡터합 정의는 타당하고, 다른 것은 안될까요?
제가 벡터에 대해 표현하기 좋아하는 방법은 벡터를 하나의 움직임- 하나의 단계로 보는 것입니다.
공간에서 특정한 방향과 거리를 가진 움직임을 말합니다. 만약 첫 번째 벡터 따라 이동하고,
다음으로 두 번째 벡터를 따라 이동한다면,
전체적인 효과는 그냥 두 벡터의 합을 따라 이동한 것과 같을 것입니다.
당신은 수선에서 숫자 더하기를 확장한 것으로 생각할 수도 있습니다.
우리가 이것을 아이들에게 가르치는 한 방법은, 2+5를 오른쪽으로 2칸 이동하고,
이어서 오른쪽으로 5칸 이동하게 생각하게 하는 것입니다.
결과는 오른쪽으로 7 단계 이동한 것과 같습니다. 

실제, ​​벡터합이 수치적으로 어떻게 보이는지 살펴봅시다.
첫번째 벡터의 좌표는 (1,2) 입니다. 두번째 벡터는 (3,-1) 입니다. 두 벡터의 합을 얻으려면
이 끝-꼬리 방법을 사용하면, 원점에서 끝으로 가는 4 단계를 생각할 수 있습니다.
"1칸 오른쪽, 2칸 위로, 3칸 오른쪽, 마지막으로 1칸 아래로."
이 단계들을 재정비해서 오른쪽 방향들 먼저하고, 나중에 수직방향을 몰아서 하도록 변경해봅시다.
그럼 다음처럼 말하는 것과 같습니다. "우선 1+3 칸 오른쪽 이동, 2+(-1)칸 위로 이동".
새 벡터는 1 + 3, 2 + (- 1) 인 좌표가 됩니다. 일반적으로, 숫자-리스트 컨셉에서 벡터합은
항끼리 매칭해서 서로 더하는 것처럼 보입니다.

또 다른 기초 벡터 연산은 숫자 곱하기 입니다. 이것을 이해하는 최고의 방법은
몇 가지 예를 보는 것입니다. 숫자 2를 주어진 벡터에 곱한다는 것은
벡터를 기존의 2배만큼 늘리는 것을 의미합니다.
만약 벡터에 1/3 을 곱한다는 것은 원래 길이의 1/3 으로 줄인다는 말입니다.
음수로 곱하는 경우는, -1.8 를 예로 들면,
벡터를 반대방향으로 뒤집고 나서 1.8 배만큼 늘리면 됩니다.
이처럼 벡터 길이를 늘이거나 줄이거나, 방향을 뒤집는 것을 "스케일링(scaling)" 이라고 부릅니다.
2, 1/3, -1.8 같이 벡터 스케일링에 사용되는 숫자들을 "스칼라(scalar)" 라고 합니다.

사실, 선형 대수를 통틀어 숫자의 주요 역할은 벡터를 스케일링 하는 것으로,
그래서 단어 "스칼라(scalar)"를 "숫자(number)" 와 쉽게 서로바꿔 사용할 수 있습니다.
수치적으로, 하나의 벡터를 2 라는 요소로 늘인다는 것은
벡터의 각 원소에 2라는 요소를 곱한다는 것과 같습니다.
그래서 숫자 리스트라는 컨셉에서, 벡터에 스칼라를 곱한다는 것은
리스트 각 원소에 해당 스칼라(숫자)를 곱하는 것과 같습니다.

당신은 앞으로 비디오를 통해 제가 다음과 같이 말하는 의미를 알게될 것입니다. 선형대수 주제들은
두 가지 기본적인 연산 주변에서 도는 경향이 있습니다. 바로 벡터합과 스칼라곱입니다.
그리고 비디오 마지막에서 수학자들이 어떻게, 왜 이런 연산들에 대해서만 생각하는지,
우리가 벡터를 표현하기로 선택한 방법과는 다르게 독립적이고 추상적으로만 생각하는지 알려드리겠습니다.
근데 실제로는 어떤 것이냐는 중요하지 않습니다.

앞서 제가 말한 것 같이 공간 상 화살표로 보면 좋은 수치 표현법을 가지게 됩니다. 반면, 숫자 리스트로 벡터를 생각하는 것은
좋은 기하학적 해석을 제공해줍니다. 선형 대수의 유용성은 어떤 관점이냐로 결정되지 않습니다.
그 관점들 사이로 쉽게 번역될 수 있는 능력이 있기 때문입니다.
이 데이터 분석가에게는 많은 숫자 리스트들을 가상적 공간에서 개념화하는 좋은 방법을 제공해줍니다.
이는 정말로 데이터의 패턴을 명확하게 해주고, 어떤 연산이 무엇인가에 대한 전지적 관점을 제공 할 수 있습니다
이와 반대로, 물리학 및 컴퓨터 그래픽 분야의 사람들에게는
공간과 조작을 숫자로 표현하여, 컴퓨터를 통해 동작시킬 수 있게 해줍니다.
예를들어, 수학-Y 애니메이션같은 작업을 할 때, 저는 공간에서 실제로 무엇이 일어나는지 생각합니다.
그리고 나서 컴퓨터에 이를 수치적으로 표현합니다. 그렇게 함으로써,
화면의 픽셀을 어디에 두어야 할지 알게됩니다. 그리고 이렇게 하는 것은 보통 선형대수 지식에 많이 의존합니다.

그럼 여기까지 벡터 기초였습니다. 다음 동영상부터 꽤 깔끔한 컨셉인
스팬(span), 기저(bases), 선형독립(linear dependence) 같은 개념들을 소개하겠습니다. 그때 만나요!